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在几何中什么是合同变换? 我希望回答中有以下几点: 一、说出二

归档日期:06-16       文本归类:仿射变换      文章编辑:爱尚语录

  在几何中,什么是合同变换? 我希望回答中有以下几点: 一、说出二次型与二次曲面的异同。 二、详见补充。

  在几何中,什么是合同变换? 我希望回答中有以下几点: 一、说出二次型与二次曲面的异同。 二、详见补充。

  二次型xAx所对应的曲面xAx=1经过非退化线性替换y=Cx后二次型变成xCACx,相应的二次曲面变为xCACx=1。我的问题是这两个曲面的图形之间有什么关系?一下是我的想法:(i)矩阵C只是...

  二次型xAx所对应的曲面xAx=1经过非退化线性替换y=Cx后二次型变成xCACx,相应的二次曲面变为xCACx=1。我的问题是这两个曲面的图形之间有什么关系?

  一下是我的想法:(i)矩阵C只是非奇异,并不是正交,因此并不一定是将原图旋转就完事了!(ii)二次型是齐次的,而二次曲面是可以有一次项。(iii)几何中的合同变换貌似又不是仿射变换,因为二次型的中心总在原点。不会有平移。

  3. The origin can be chosen freely, so affine transform just differes a little from y=Cx. Its not a big deal.

  合同变换是我们把二次型化为标准型的过程中间我们要引进的一个所谓的非退化的线性变换,这个地方我想相等一下必须是会退化的,也就是说我们这样一个变换的矩阵,必须是可逆的,所以我通过把二次型化为标准型的时候,我们就会发现把二次型化为标准型,转换为新的二次型它所对应的矩阵的时候,这个时候相等于对角型矩阵,但是一般我们找到一个非退化的矩阵,不见得刚好等于一个对角型矩阵,如果满足这样一个条件,我们定义这两个矩阵是合同的,就向对角化一样,那就是AP等于一个对角型的矩阵是对等,但是一般情况下不见得是对角型矩阵,我们说这两个是相似的。所以如果单纯从合同变换引出合同矩阵本身来讲,应该说这个概念不是特别难理解的,但是大家复习时候,应该注意到我有了这个合同矩阵的概念以后,这种合同矩阵它满足的相应的性质,从这个角度来理解可能就更好把握了,整个线性代数里矩阵之间有三种最典型的关系:一个两个矩阵式相似,一个两个矩阵式等价,还有两个两个矩阵式合同,应该注意这两种关系的联系和差别,我个人认为这三种关系里面实际上等价关系是最弱的一个关系,两个矩阵是相似,两个矩阵合同,那这两个矩阵一定是等价的,但是反过来不成立。相似与合同矩阵之间不能够互相推导。

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