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一个数学上的定理

归档日期:06-07       文本归类:仿射变换      文章编辑:爱尚语录

  老师在做一个几何问题时提到什么“蝴蝶定理”,有“蝴蝶定理”这个定理吗?内容和证明写一下,作用是什么呀这么多分数不是让你们复制的,写一些自己的东西。现在才知道应该在网上找一...

  老师在做一个几何问题时提到什么“蝴蝶定理”,有“蝴蝶定理”这个定理吗?内容和证明写一下,作用是什么呀

  这么多分数不是让你们复制的,写一些自己的东西。现在才知道应该在网上找一下自己复制下来。省得无聊的人就会复制展开我来答

  可选中1个或多个下面的关键词,搜索相关资料。也可直接点“搜索资料”搜索整个问题。

  AB是圆的一条弦,中点记为S,圆心为O,过S作任意两条弦CD、EF,分别交圆于C、D、E、F,连接CF,ED分别交AB于点M、N,求证:MS=NS。

  本题就是平面几何上著名的“蝴蝶定理”,证明方法有几种,上面是一种最基本的证明方法,也可以用正弦定理或面积证明。

  展开全部定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。

  这个定理能够用到的地方很少,而且在高中,也不能拿来作为一个定理使用,,记得有这么一个结论就好了。

  这个定理的前置条件很严格,那么他的适用范围必然就很窄,差不多只有满足题设条件,才能使用。所以作用不是很大啊。

  蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。

  出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式:S=1/2 BCSINA。1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

  证明:过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT。

  1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M(o,r)(b>r>0)。

  (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q。

  2.解答:北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下:

  (18)本小题主要考查直线与椭圆的基本知识,考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。

  本小题主要考查直线与椭圆等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易,第(Ⅰ)问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质:焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容。

  第(Ⅱ)问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,分离系数利用韦达定理给出关于x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4的表达式,再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”,整个证明过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

  第(Ⅲ)问证明中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率公式,分别解出p,q以后,OP=OQ等价转化成了p= -q(或p+q=0。)此时分析前提条件(Ⅱ)及待证结论p= -q,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形,则思路就显然顺畅自然。

  它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

  综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

  上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句:试题是怎么命制出来的?它的背景是什么?它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示?

  蝴蝶定理 设AB是圆O的弦,M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF,CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。

  这个定理画出来的几何图,很像一只翩翩飞舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理(图2)。

  像,而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们,椭圆中蝴蝶定理依然成立,而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴,短轴相等,即a=b,则椭圆就变成了圆,椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理,上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得,故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此,是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心?

  [关于“椭圆上的蝴蝶”,张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述,有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。

  椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,飞落到了北京数学高考试题的百花(草)园,令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景,然而这里证明它,却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册(必修)数处提到三点共线)、C(4,5)。求证:三点在一条直线:证明:已知三点A、B、C,如果直线AB、AC的斜率相等,那么这三点在同一条直线)在同一条直线题:用两种方法证明:三点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,-6)在同一条直线上。你看,课本上的练习、习题、复习参考题,反复提到了三点共线的证明,并且强调用不同的方法来证明。为什么?你(老师、学生)关注到了它吗?

  实际上,三点共线的不同证明,可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来,组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式

  证明|AC|=|AB∣+∣BC∣;你也可以应用定比分点公式x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)去证λ=(x1-x)/(x-x2)=(y1-y)/(y-y2);你可以用过两点的直线),去证KAB=KAC;你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0,然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0;你也可以在建立直线AB的方程之后,利用点到直线的距离公式

  证明dc-AB=0;你还可以计算△ABC的面积,去证S△ABC=0。你看,有五、六种方法可以解决同一个问题,当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力(洞察、观察)的体现,从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来,有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第(Ⅲ)问很懊悔,一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”!不知读者诸君欣赏至此,能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里?北京市有许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少去钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料,几十套几十套的各地模拟试卷,使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔,这哪里还谈得上素质教育与培养能力?我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用,从而解放思想,勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海,老师就必须首先跳入题海,“题海探珠”,感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。

  数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说,一些最轻微的因素,能够在复杂的环境中,引起滔天的巨浪,就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀,那微小的气流,已足已引起北半球的飓风和海啸。

  而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢? 所以经济和气象都是不可预测的,正如人生无法预测。

  如图I,是“蝴蝶定理”,有结论EP=PF;如图II,是“蝴蝶定理”的演变,点P,Q,R,S是否也存在某种关系呢?

  所以过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H,连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S,则有等式:成立。

  展开全部如果蝴蝶定理那么适用,教材上早就推广了。下面是一个假“蝴蝶定理”,用的更多,你肯定会证明。但并不是定理!如图:若角B=角C,那么OA*OB=OC*OD

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